[ Dodano: 07 Lut 2008, 20:49:55] Z tego co rozumiem, chodzi o układ równań którego rozwiązaniem byłyby dwie pary liczb: (2,4) i (-1,0). Taka możliwość istnieje tylko w przypadku układu równań nieoznaczonym, który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań liniowych : x-3y+2z=1 3x+y-4z=-7-x+5y-z=3 4x-y+2z=3 Wybierz jedną odpowiedź: 1.ma trzy rozwiązania 2.ma nieskończenie wiele rozwiązań w zależności od dwóch parametrów 3.ma dokładnie jedno rozwiąznie 4.ma nieskończenie wiele rozwiązań w zależności od jednego parametru 5.nie ma rozwiązania 35) Układ równań : 2# −39 = 5 −4# +69 = −10 CKE, matura – sierpień 2016 A. nie ma rozwiązań B. ma dokładnie jedno rozwiązanie C. ma dokładnie dwa rozwiązania D. ma nieskończenie wiele rozwiązania Metoda podstawiania przez wyznaczenie zmiennej x. Krok 1: W naszym układzie równań w II równaniu zauważamy „samotną literkę x”. „Samotna literka” to żargon jakim określam literkę x lub y, przy której stoi współczynnik „1”. Oczywiście w rzeczywistości pisząc np.: „x” wiemy, że to „1x”, ale cyfra „1” jest Rozwiąż układ równań metodą podstawiania. Proszę o rozwiązania krok po kroku bo nie rozumiem tego :/ dzisiaj jest -10 stopni C jutro ma byc o 5 stopni Ostatni wiersz jest pusty (wszystkie wartości są równe 0), dlatego układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Obserwujemy, że liczba wierszy, które nie są pusty < liczba niewiadomych, stosujemy więc następujące równanie, aby dowiedzieć się, od ilu parametrów zależy układ równań: . Układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny jest dość łatwy do rozpoznania na podstawie obliczeń. Układ równań jest oznaczony, gdy podczas obliczeń otrzymasz jedno rozwiązanie np.: \(\left\{ \begin{matrix} x=3 \\ y=2 \\ \end{matrix} \right.\) Układ równań jest nieoznaczony (tożsamościowy), gdy podczas obliczeń otrzymasz tożsamość np.: 0=0, 1=1, 3=3 itp. Z lewej strony i prawej strony równania otrzymujesz identyczne liczby najczęściej 0=0. Taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań jest sprzeczny, gdy podczas obliczeń otrzymujesz sprzeczność – „fałsz matematyczny” np.: 0≠3, 4≠0, 5≠6 itp. Występuje tu brak rozwiązań. Interpretacja graficzna układu równań Interpretacją układu równań w układzie współrzędnych jest para prostych. Układ równań posiada dwa równania. Każde z nich można narysować w układzie współrzędnych jako prostą. W pierwszej kolumnie jest układ oznaczony. Podczas obliczeń otrzymujemy parę liczb: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {y = 2} \end{array}} \right.\). Liczby x=1 i y=2 są jednocześnie współrzędnymi punktu przecięcia dwóch prostych, których równania są określone przez układ równań. Zatem punkt przecięcia się prostych jest rozwiązaniem graficznym układu równań. W drugiej kolumnie jest układ nieoznaczony. Gdybyś wykonał rachunki wyjdzie nam tożsamość: 0=0. Pozornie równania w tym układzie wyglądają inaczej, ale tak na prawdę można doprowadzić oba równania do tej samej postaci. A skoro równania opisujące proste są identyczne zatem interpretacją układu nieoznaczonego są dwie proste leżące jedna na drugiej (będące tą samą prostą). W takim przypadku mamy nieskończenie wiele punktów wspólnych między tymi dwiema prostymi. Stąd układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. W trzeciej kolumnie jest układ sprzeczny. Podczas obliczeń otrzymałbyś sprzeczność 0≠-5. W układzie współrzędnych taki układ równań prezentuje się w postaci dwóch prostych równoległych, które nie mają wspólnych punktów. Stąd układ sprzeczny nie ma rozwiązań. Zadanie. Rozwiąż układy równań i odpowiedz, który z nich jest oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny. Zobacz na stronie Zobacz na YouTube Równania w układach równań mogą być zapisane między innymi w: 1. Postaci ogólnej prostej Ax+By+C=0 2. Postaci kierunkowej y=ax+b Układ oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny dla dwóch równań zapisanych w postaci ogólnej Układ dwóch równań zapisanych w postaci ogólnej: \[\left\{ \begin{matrix} {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0 \\ {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}=0 \\ \end{matrix} \right.\] jest oznaczony, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\) jest nieoznaczony, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}.\) W praktyce jedno z równań można doprowadzić do postaci drugiego równania tak, że \({A_1} = {A_2};\;{B_1} = {B_2};\;{C_1} = {C_2}\) jest sprzeczny, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}.\) W zadaniach matematycznych można jedno z równań sprowadzić do postaci drugiego tak, że będą się różnić się tylko liczbami, wyrazami wolnymi bez literek. Więc warunek można uprościć do \({A_1} = {A_2};\;{B_1} = {B_2};\;{C_1} \ne {C_2}\) Układ oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny dla dwóch równań zapisanych w postaci kierunkowej prostej: Układ dwóch równań zapisanych w postaci kierunkowej: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = {a_1}x + {b_1}}\\ {y = {a_2}x + {b_2}} \end{array}} \right.\] jest oznaczony, jeśli \({a_1} \ne {a_2}\), współczynniki \({b_1},{b_2}\) są dowolne. jest nieoznaczony, jeśli \({a_1} = {a_2};\;{b_1} = {b_2}.\) W tego typu układach dwa równania są identyczne. Jeśli nie wyglądają tak samo to można przekształcić jedno z nich do postaci drugiego równania, aby otrzymać w końcu identyczne równania. jest sprzeczny, jeśli \({a_1} = {a_2};\;{b_1} \ne {b_2}\). Układy sprzeczne posiadające równania w postaci kierunkowej różnią się tylko współczynnikiem „b”, a pozostała część równań jest identyczna. Porównanie układu oznaczonego, nieoznaczonego i sprzecznego Zadanie. Poniższe zdania odnoszą się do następującego układu \(\left\{ \begin{matrix} 6x-15y=15 \\ 2x-5y=5 \\ \end{matrix} \right.\). Wskaż zdanie prawdziwe. A. Rozwiązaniem układu równań jest dokładnie jedna para liczb. B. Zamieszczony układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. C. Każda para liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem układu. D. Zamieszczony obok układ równań nie ma rozwiązań. Zobacz na stronie Zobacz na YouTube Zadanie. Odpowiedz, czy dany układ jest oznaczony, nieoznaczony (tożsamościowy) lub sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8x – 6y = 5\quad }\\ { – 4x + 3y = – 2,5} \end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x – \frac{1}{2}y = 3}\\ {8x – y = 8\,\;} \end{array}} \right.\] Zobacz na stronie Zobacz na YouTube Układ sprzeczny – brak rozwiązań Zadanie. Rozwiąż układ równań. Określ, czy jest to układ oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 3y = 5}\\ {2x – 3y = 6} \end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 3y = 5}\\ {4x – 6y = 20} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu Ucz się matematyki już od 25 zł. Instrukcja premium Uzyskaj dostęp do całej strony Wesprzyj rozwój filmów matematycznych Zaloguj się lub Wykup Sprawdź Wykup Anuluj Pełny dostęp do zawartości na 15 dni za dostęp do zawartości na 30 dni za dostęp do zawartości na 45 dni za zł. Anuluj Układ nieoznaczony – wiele rozwiązań Zadanie. Rozwiąż układ równań. Określ, czy jest to układ oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 4y = 2}\\ {5x + 4y = 2} \end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 4y = 2}\\ {15x + 12y = 6} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu. Zadanie. Podaj jakie liczby należy wstawić za literkę „a” i „b”, aby układy były oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x – 4y = 5}\\ {ax – 4y = b} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu. Zadanie. Nie wykonując obliczeń określ, który układ jest oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,5x + 0,3y = 3}\\ {x + 0,6y = 4,3} \end{array}} \right.\] \[\left\{ \begin{matrix} x+3y=10 \\ 2x+6y=20 \\ \end{matrix} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 2y = 4}\\ {x – 2y = 5} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu. Bądź na bieżąco z poniedziałek, 11 listopada 2013 Ile rozwiązań może mieć układ równań? Układ równań może mieć: - jedno rozwiązanie - parę liczb np. x = 7, y = -5 i wówczas nazywamy go oznaczonym; - nieskończenie wiele rozwiązań - np. x = y i wówczas nazywamy go nieoznaczonym; - zero rozwiązań - np. 0x = 5 i wówczas nazywamy go sprzecznym. Rozwiązujcie układy równań i interpretujcie otrzymane wyniki, nazywajcie układy równań. POWODZENIA! Jeśli chcesz dodatkowych informacji na ten temat skorzystaj z linku: Autor: Ewa Liwska o 21:51 Brak komentarzy: Prześlij komentarz kiedy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ? Koli91: kiedy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ? 6 lis 14:56 Basia: gdy da się sprowadzić do tożsamości niezależnej od x np. 2x−4 = 2(x−2) 2x−4 = 2x−4 2x−2x=−4+4 0=0 prawda dla każdego x 6 lis 14:59 czita: x2=−2 x2−3x=o 14 lis 17:45 Równanie nazywamy: oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym (tożsamościowym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań, sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań. Rozwiąż równianie: \[3x+1=-3x-2\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 3x+1&=-3x-2\\[6pt] 3x+3x&=-2-1\\[6pt] 6x&=-3\\[6pt] x&=-\frac{1}{2} \end{split}\] Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-\frac{1}{2}\), zatem jest to równanie oznaczone. Rozwiąż równianie: \[2\cdot (5x-3)+3=3\cdot (2x-1)+4x\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 2\cdot (5x-3)+3&=3\cdot (2x-1)+4x\\[6pt] 10x-6+3&=6x-3+4x\\[6pt] 10x-3&=10x-3\\[6pt] \end{split}\] Lewa strona równania jest równa prawej, zatem mamy równanie nieoznaczone (tożsamościowe). Równie tego typu ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dowolna liczba podstawiona pod \(x\) da równanie prawdziwe. Przykładowo dla \(x=7\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 7-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 70-3&=70-3\\[6pt] 67&=67 \end{split}\] Tak samo np dla \(x=2\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 2-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 20-3&=20-3\\[6pt] 17&=17 \end{split}\] Równanie tożsamościowe zawsze można doprowadzić do postaci \(0=0\). W tym przykładzie również: \[\begin{split} 10x-3&=10x-3\\[6pt] 10x&=10x\\[6pt] 0&=100\\[6pt] \end{split}\] Rozwiąż równianie: \[7x-2=7x+3\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 7x-2&=7x+3\\[6pt] 7x-7x&=3+2\\[6pt] 0&=5 \end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Równanie: \[x^2=4\] nie jest ani oznaczone, ani nieoznaczone, ani sprzeczne, ponieważ ma dwa rozwiązania: \[x=-2\quad \lor \quad x=2\] Równanie: \[x^2=-4\] jest sprzeczne, ponieważ nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę ujemną. Metoda wyznaczników Metoda ta służy do rozwiązywania układów równań – dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Jest to bardzo prosta i schematyczna metoda, często używana w programowaniu. Wymaga jednak pamiętania wzoru, w odróżnieniu od metody podstawiania lub przeciwnych współczynników, gdzie pamiętać trzeba tylko schemat działania a nie wzór. Rozwinięciem tej metody jest twierdzenie Cramera. Aby rozwiązać układ równań metodą wyznaczników, należy skorzystać z podanego równania: \(\left\{\begin{matrix} {\color{DarkRed}{a_1}}x+{\color{DarkGreen}{b_1}}y={\color{DarkBlue}{c_1}}\\ {\color{DarkRed}{a_2}}x+{\color{DarkGreen}{b_2}}y={\color{DarkBlue}{c_2}} \end{matrix}\right.\) i obliczyć następujące wyznaczniki: \(W=\begin{vmatrix} {\color{DarkRed}{a_1}} & {\color{DarkGreen}{b_1}}\\ {\color{DarkRed}{a_2}} & {\color{DarkGreen}{b_2}} \end{vmatrix}={\color{DarkRed}{a_1}}\cdot {\color{DarkGreen}{b_2}} - {\color{DarkGreen}{b_1}} \cdot {\color{DarkRed}{a_2}}\) \(W_x=\begin{vmatrix} {\color{DarkBlue}{c_1}} & {\color{DarkGreen}{b_1}}\\ {\color{DarkBlue}{c_2}} & {\color{DarkGreen}{b_2}} \end{vmatrix}={\color{DarkBlue}{c_1}} \cdot {\color{DarkGreen}{b_2}} - {\color{DarkGreen}{b_1}}\cdot {\color{DarkBlue}{c_2}}\) \(W_y=\begin{vmatrix} {\color{DarkRed}{a_1}} & {\color{DarkBlue}{c_1}}\\ {\color{DarkRed}{a_2}} & {\color{DarkBlue}{c_2}} \end{vmatrix}={\color{DarkRed}{a_1}}\cdot {\color{DarkBlue}{c_2}} - {\color{DarkBlue}{c_1}}\cdot {\color{DarkRed}{a_2}}\) Po obliczeniu wyznaczników, możemy spotkać się z trzema przypadkami, zgodnie z którymi określamy rozwiązanie: 1) dla \(W\neq 0\), układ określa się jako oznaczony, czyli posiada on jedno rozwiązanie: \(\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{W_x}{W}\\ \\ y=\dfrac{W_y}{W} \end{matrix}\right.\) 2) dla \(W=0\) i \(W_x=0\) i \(W_y=0\), układ jest nieoznaczony, posiada nieskończenie wiele rozwiązań. 3) dla \(W=0\) i jeśli choć jedno \(W_x\neq 0\) lub \(W_y \neq 0\) są różne od zera, to układ równań jest sprzeczny, czyli nie posiada rozwiązań. Przykładowe zadania Zad. 1) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 3x-y=1\\ x+2y=5 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 2) Rozwiąż metodą wyznaczników: \( \left\{\begin{matrix} 3x+2y=-8\\ 4x-y=-7 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 3) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 3x-2y=-16\\ 5x+3y=5 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 4) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 5x-3y=-13\\ 20x+7y=-223 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zad. 5) Rozwiąż metodą wyznaczników: \(\left\{\begin{matrix} 7x-6y=52\\ 13x-3y=121 \end{matrix}\right.\) Zobacz rozwiązanie Zobacz również Równania trygonometryczne NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność Dodawanie i odejmowanie ułamków... Logika Właściwości i wzory logarytmów Stereometria Kąt półpełny Zbiór zdarzeń parami rozłącznych Jednomiany Kąt środkowy i wpisany Środkowa trójkąta Punkt przegięcia Zdarzenia przeciwne Kąty wierzchołkowe Kąt ostry

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań jeśli